объясните чайнику принцип Паули

[juan_gandhi]

Я чуть не с детства верил, что у электрона спин бывает +1/2 и -1/2, и чтобы на одну орбиту попасть, им нужно иметь разные спины.

А теперь оказывается, что все это чушь. Что у всех электронов спин 1/2. И что-то вроде момента должно различаться, чтобы попасть на одну орбиту. Но момент... он же может быть в любом направлении, так?

НЕ ПОНИМАЮ. 

И да, я гуглил. И я читал вики. Ни хера не понял. Дурят нашего брата, программиста.

Comments

[ircicq]

Спин всегда измеряется относительно какой-то направленной оси
В этом смысле он -1/2 или +1/2

[alexanderr]

главная и фундаментальная проблема со спином прежде всего в том, что у него нет классического аналога.
нет и не может быть. в классическом пределе спин просто равен нулю.

например, у него есть свойства, которые просто невозможны для классических объектов.
например, при повороте на 360 градусов система не возвращается в иходное состояние!
для этого ее нужно повернуть 2 раза на 360 градусов. два полных оборота окей,
а один это не совсем окей.

как вам такая система?

[juan_gandhi]

Да нефиг делать; там же спиновая размерность, так?

[alexanderr]

xaxa ;-))

вообще народ иногда пытается построить классические объекты с таким свойством.
ну, чтобы 360 градусов можно было отличить от 720. не помню деталей, но
некоторые довольно забавные конструкции были. ну там всегда какие-то дополнительные
уловки. очевидно, что классический момент импульса сохраняется, поэтому локальная
симметрия на угловые повороты всегда должна быть. это-то тут не нарушается, но вот
такой глобальный результат, что 2*Pi делится этим спином 1/2 напополам и в итоге
фаза набегает не 2*Pi, а только Pi, это слишком хитро для любого классического
объекта

[ufm]

Классический USB разъём может иметь любой спин. Мало того, он у него переменный.

[alexanderr]

USB в каком-то смысле приближается к этой ситуации.
его втыкают, он не лезет. поворачивают, снова не лезет.
поворачивают еще и о чудо, влез!

[pappadeux]

> например, у него есть свойства, которые просто невозможны для классических объектов.
например, при повороте на 360 градусов система не возвращается в иходное состояние!
для этого ее нужно повернуть 2 раза на 360 градусов. два полных оборота окей,
а один это не совсем окей.

Э?!

это вообще-то придумано Гамильтоном и Клиффордом задолго до появления даже и намеков на всякие электроны.

https://www.gathering4gardner.org/g4g13gift/math/BickfordNeil-GiftExchange-WhyDoTheUnitQuaternionsDoubleCoverTheSpaceOfRotations-G4G13.pdf

[alexanderr]

xaxa, матрицы Паули это и есть кватернионы, конечно же.

но не сможете ли Вы привести пример классического физического объекта, который
будет иметь такие же свойства? с макроскопической массой и размерами, пожалуйста

[pappadeux]

есть классическая демонстрация о том, что вращение на 2пи не является топологическим эквивалентом нулевого вращения или вращения на 4пи - Dirac belt trick

https://arxiv.org/abs/1001.1778

[alexanderr]

вот, да это неплохой пример.
я поискал и на youtube оказывается есть
довольно забавные видео с вращением стакана в руках, волос и так далее.
но это все как бы не замкнутые системы.
хотелось бы в пустом пространстве свободный замкнутый классический объект ну, как электрон.
и чтобы он отличал четное число полных поворотов от нечетного числа.

[juan_gandhi]

Это прекрасно. Спасибо!

[pappadeux]

> но не сможете ли Вы привести пример

такого, наверно, и нет, потому и не приведу

просто двойное покрытие вращения кватернионами (или изоморфными им матрицами Паули) не имеет реально отношения к электрону или кв.механике

Можно сказать, что эта математика реализуется во всей этой электронной кухне наиболее наглядным и красивым образом, так что физикам даже пришлось придумать свой вариант математики на матрицах, бо как про кватернионы они к тому времени забыли

Но математика возникла лет за 70-80 до квантов

[alexanderr]

с Паули я почти знаком лично, через только одного человека.
который с ним катался на такси в НЙ. ну, и потом через ~50 лет рассказывал нам
студентам про это. тот же человек (Yang из теории Yang-Mills'а)
заодно там и с Эйнштейном пересекался. так что Эйнштейн у меня
в той же категории, индекс 2. знаком не лично, но через только
одного человека. (ну, понятно, у самого Паули индекс равен 0)

[pappadeux]

забавно

у меня с польским Римским папой индех 2, причем не через людей в толпе на мессе

[alexanderr]

ого!

[alexanderr]

вспомнил из журнала "Квант" замечательную историю про Гамильтона,
как он потратил 20 лет на то, чтобы научиться умножать триплеты.
и никак не получалось. ну, и не могло получиться. а потом вдруг во время
прогулки с женой на мосту он сообразил как умножать кватернионы.
и тут же вырезал ножиком правила умножения прямо там на мосту.

т.е. да, математический объект был придуман давным-давно, как и положено.
но это не отменяет тот факт, что классических физических объектов с таким
свойством нет

[ppk_ptichkin]

Droichead Broome. Я при первом удобном случае сходил к этому мосту.

[alexanderr]

по какой-то странной ассоциации вдруг вспомнил, как нас водили в Норвегии на могилу
Софуса Ли. ну, которого алгебры. экскурсовод с удовольствием рассказывал, что
про алгебры-то как раз очень многие слышали, и диаграммы Дынкина могут легко нарисовать при
случае, но вот то, что Lie был норвежец не знает почти никто. все автоматически думают,
что китаец

[beldmit]

Прекрасно! Уволоку?

[pappadeux]

да, вроде до сих пор там (на мосте) присутствует

[ppk_ptichkin]

Там теперь табличка.

[pappadeux]

кстати, в этом зоопарке много кватернионов - некоммутативные, коммутативные

и ноги у них растут примерно из одного места...

[alexanderr]

коммутативные кватернионы, как это?

вроде как раз от коммутативности пришлось отказаться, чтобы научиться их умножать.
при переходе от действительных чисел к комплексным пришлось отказаться от упорядочения.
от комплексных к кватернионам пришлось утратить коммутативность.
и при переходе от кватернионов к ...
... забыл как называются 8х8 числа, так там вроде ассоциативность отпала?

[pappadeux]

> коммутативные кватернионы, как это?

Берем любимое трехмерное векторное пространство R^3. Строим Клиффордову алгебру Cl(3)=Cl(3,0). Количество базисных элементов равно 2^3=8. Рисуем таблицу умножения базисных элементов так, чтобы можно было умножать любые линейные комбинации.

Имеем таблицу умножения 8х8. В ней начинаем искать замкнутые подтаблицы, которые укажут на наличие подалгебр.

Есть четные элементы Cl(3), которые отвечают за вращение {скаляр, e12, e23, e31}, и оказывается, что они порождают подалгебру из четырех элементов и изоморфны некоммутирующим кватернионам (они же кватернионы Гамильтона)

Так же обнаруживается 4 элемента из ортогональных повыщающих степеней, например {скаляр, e1, e23, псевдоскаляр}, порождающих еще одну подалгебру, котораю изоморфна коммутирующим кватернионам (они же кватернионы Сегрэ)

[alexanderr]

очень интересно, но кватернионы ли это? или просто 2 комплексных числа?
пишут следующее:

...After the discovery of quaternions by Hamilton, Segre proposed modified quaternions so that commutative property in multiplication is possible [5]. This number system, called commutative quaternion. Commutative quaternions are decomposable into two complex variables [6]. The set of commutative quaternions
is 4− dimensional like the set of quaternions. But this set contains zero-divisor
and isotropic elements. ...

что-то последняя фраза меня настораживает. zero-divisor это не есть хорошо

[pappadeux]

> очень интересно, но кватернионы ли это?

несомненно

базис из 4х элементов {скаляр, i, j, k}, таблица умножения базиса 4х4 не выводит за пределы алгебры, т.е. все линейные комбинации кватернионов Сегре перемноженные остаются кватернионами Сегре.

A set of commutative quaternions are denoted by
H = {q = t + ix + jy + kz : t, x, y, z ∈ R, i, j, k /∈ R}
where the bases elements i, j, k satisfy the following multiplication rules:
i^2 = k^2 = −1, j^2 = 1, ijk = −1, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = −j.

> zero-divisor это не есть хорошо

почему?

[alexanderr]

ну я не знаю. это очень подозрительная ситуация. т.е. я беру два ненулевых элемента,
умножаю их, и вдруг бац, это ноль!

у обычных кватернионов такого нет. если выбирать между некоммутативностью
или zero-divisor'ами, пусть уж лучше некоммутативность

[pappadeux]

понятно, что это непривычно, но мб где-то и реализуется

надо бы настоящего учоного поймать (скажем, leblonа) и спросить, изпользуются ли кв.Сегре в науке или народном хозяйстве

[alexanderr]

да, интересно, что он скажет

[pappadeux]

задал вопрос

[pappadeux]

ответ отрицательный - примеров применения кв.Сегре он не знает

[alexanderr]

окей, ну как бы и понятно почему. для физики хорошо когда такие штуки
почти образуют поле. ну, может с накладками вроде коммутативности, но все же почти поле.
можно смело делить, умножать, складывать, вычитать, не ожидая подвохов

[juan_gandhi]

Да ну ладно; просто они ортогональны. В определенном смысле.

[alexanderr]

ну, замысел был сделать "почти поле"
т.е. почти как комплексные числа, только 4х мерные.
с делителями нуля поле плоховатое получается

[juan_gandhi]

Получается кольцо, и над ним модули.

[alexanderr]

такого добра и так навалом.
а поле это редкая вещь.
полное вполне упорядоченное поле вообще одно, кажется.

[juan_gandhi]

Ну это от аксиоматики зависит, наверно. Попробовать если без аксиомы выбора, что получится.

[pappadeux]

> ... забыл как называются 8х8 числа, так там вроде ассоциативность отпала?

октонионы

бают, сейчас их пытаются применить к физике частиц и полей

[glav]

1/2 - это "длина вектора", а +/–(1/2) - это "проекция вектора" на некоторую "ось". И то, и другое называют спином, т.к. из контекста обычно понятно, о какой величине идёт речь.

https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_(physics)#Direction

Чтобы попасть на одну и ту же орбиту, электронам нужно иметь различные "квантовые числа проекции спина", которые имеют значения +1/2 и -1/2.

Я так понимаю, тут также языковая путаница. В русской литературе значения проекций спина +1/2 и -1/2 называются спиновыми квантовыми числами, а величина спина - просто спином. А в англоязычной литературе величина спина называется спиновым квантовым числом, а проекции называются "вторичным спиновым квантовым числом"

[juan_gandhi]

А, ну вот. Это то, что я изучал по физике когда-то.

[ichthuss]

Тут стоит добавить, что "длина вектора 1/2" - это условное обозначение, общепринятое у физиков. На самом деле модуль этого вектора равен sqrt(1/2*(1+1/2)). Поскольку модуль момента импульса в квантовой механике всегда имеет вид sqrt(l * (l + 1)), где l - полуцелое, то это принято называть "момент l" - это число совпадает с максимальным значением проекции момента на любую ось, что удобно.

[pappadeux]

> модуль момента импульса в квантовой механике всегда имеет вид sqrt(l * (l + 1)), где l - полуцелое

почему полуцелое-то?

мб и целым, частица со спином 1

[ichthuss]

"Полуцелое" я использовал в смысле "целое, деленное на два", т.е. целые числа и числа с дробной частью 1/2.

[drraug]

целые - это подмножество полуцелых

[pappadeux]

> 1/2 - это "длина вектора"

нет, длина √3/2

[vak]

Со спином природа нам устроила прикол. В принципе, его вообще могло не существовать: ниоткуда он не следует и нигде не требуется. Но вот так получилось. Когда открыли фермионы, считалось, что их пара не может находиться в одном состоянии. А бозоны наоборот, могут в любых количествах. Но вдруг выяснилось (по спектрам), что почему-то электроны усаживаются на орбитах ровно по двое. Фигня какая-то. Выяснилось, что у частиц есть еще один параметр состояния. И пару "одинаковых" электронов можно различить, если есть магнитное поле. Они начинают слегка по другому двигаться. Этот параметр проявляет себя как небольшой магнитный момент. Обычно магнитный момент возникает, когда какой-то заряд вращается. Назвали спином. Но тут и заряда у частицы может не быть, и не вращается ничего, а момент есть. Очень странная штука! Классической физикой объяснить невозможно, нет аналога в нашем повседневном опыте.

[thedeemon]

>ниоткуда он не следует и нигде не требуется

Если на уравнение Дирака посмотреть, видно, как он вылезает из теории относительности - берем из нее соотношение энергии и импульса, делаем из него волновое уравнение, решения в 4Д пространстве-времени получаются как раз со спинами и античастицами. Сразу два зайца вылезают.

[alexanderr]

в уравнении Дирака есть такие интересные гамма-матрицы 4х4.
они там с самого начала участвуют, "откуда ни возьмись".
так вот, эти матрицы уже вполне себе имеют правильный спин 1/2

[thedeemon]

Там просто нужно было, чтобы AB+BA=0, но A^2 = B^2 = 1, вот такие матрицы подошли.

[alexanderr]

про бозоны и фермионы понятно. а как там с anyon'ами?
как мне объясняли, у них
после двукратной перестановки P^2 не равно 1, как у бозонов или фермионов.
а только еще хуже все запутывается. интересно, у них есть спин?

[yigal_s]

спин - это и есть момент же. Собственный момент, т.е. связанный не с "вращением" на "орбите", а с "вращением" "вокруг оси". Всё закавыченное, разумеется, сомнительные и дурацкие аналогии.

В устройстве атома я мало что понимаю, так что далее - всё ИМХО.

По идее, одиночный электрон на орбитали может действительно иметь конкретное направление спина. Проекция спина на любую ось при этом всё равно квантуется, ничего не поделаешь.

Два электрона на одной орбитали неминуемо находятся в entangled состоянии, будучи "тождественными" частицами. В этом состоянии никакого выделенного направления спина у каждого из них нет, если чисто в формулы смотреть. Хотя, даже если б оно и было бы, непонятно было бы, как его можно бы было померять, электроны-то рядышком и проекции спинов у них имеют противоположный знак.

[juan_gandhi]

А, красиво. Я, правда, не понимаю, как это они попадают в entangled состояние.

[yigal_s]

у любых электронов волновая функция (анти-)симметризированная, поскольку это тождественные частицы. А это и даёт как бы entanglement, если всё же пытаться рассуждать об этих электронах как об отдельных "формально различимых" частицах.

[ichthuss]

Они из него никогда не выходят. По определению, не спутанным состояние двух частиц является тогда, когда их вероятности находиться в разных состояниях взаимно независимые, т.е. P(A & B) = P(A)*P(B). А для двух фермионов (например, электронов) диагональ этой матрицы всегда равна нулю.