а вот ещё рант

[juan_gandhi]

Если категорщик пишет слово Hom, то он вызывает у меня большие подозрения. Если какой другой математик или программист пишет слово Hom, то он вызывает у меня большое сочувствие, unless они имеют в виду какую-нибудь конкретную замкнутую моноидальную категорию.

А ведь сплошь и рядом.

Comments

[marina_p]

Да вроде для любых. Но реально везде же конкретные категории возникают.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Для любых же его не существует. Локально малые - одно, замкнутые моноидальные другое - а вообще - нету.

[cadadr.livejournal.com]

Ничего не понял. Все пишут Hom_C (A,B), а чем является этот Hom — отдельный вопрос.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

И никто не сомневается в его существовании, да?

Hom_Cat(Set, Cat)

[cadadr.livejournal.com]

Если не понятно с Hom_C (A,B), значит и с самой категорией не всё понятно.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

В смысле что она не локально малая? И чо? Ну нету Hom - это всё, что я хотел сказать.

[cadadr.livejournal.com]

Hom_C может быть и без локальной малости — ну пусть это не множество, а класс, супер-класс, супер-супер-класс, сепулька, и т. п. Не всегда задумываются, что это, т.е. не заботятся о всяких теоретико-множественных тонкостях. Но написать "Hom_C" ничего не мешает.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Вопрос - what's the codomain category of this functor?

[cadadr.livejournal.com]

Этот вопрос уже отдельный. Всё же одно дело когда пишут "Hom_C (A,B)", и ничего особенного под этим не подразумевают (ну какая-то сепулька стрелок из A в B), а другое дело — "Hom_C (A,−)" или там "Hom_C (−,B)".

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

А в чём состоят глубокие причины того, что "последовательность" sets, proper classes, ... нельзя продолжать туда, где троеточие?

Мне казалось, что просто надо декларировать, что мы считаем это законным, и все дела, но, может быть, там есть какие-то более глубокие проблемы?

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

А здесь, кажется, Hom просто надо объявить классом, а не множеством. Или при неаккуратном обращении легко получить противоречие?

[ivan-gandhi.livejournal.com]

"Класс" - это понятие GB.

Хорошо бы привыкнуть, что нет такой универсальной теории множеств, из которой выводится всё.

Например, в ZFC нет никаких классов.

Ну хорошо, предположим на минутку, что мы объявили Hom классом.

Так в какую категорию этот функтор? Нет такой категории - "классы". Нет. Как вы определите морфизмы на классах? Уж не через декартово ли произведение?

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Ну так и функтор, если задуматься, какое-то такое отображение. Не очень понятное. Не функция, а что?

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Не функция. Функция в теории множество определена.

А соответствие - когда каждому объекту... и каждому морфизму...

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Ну вот мы же не определяем, что такое соответствие. We know it when we see it.

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

> Например, в ZFC нет никаких классов.

А в ZFC можно определить категорию Set? Или понятие локально малой категории? Или эти понятия предполагают, что классы есть?

(Ну и, конечно, если всерьёз отнестись к тому, что нет универсальной теории множеств, вообще бывает теория категорий в топосе, и, как вообще говоря, во всех этих "синтетических ситуациях", необязательно считать, что где-то там под всем этим лежит "хорошая" теория множеств. Особенно это популярно у конструктивистов, которые и в ZFC не верят, зато у них есть такие топосы, в которых мир конструктивен. Но, наверняка, они все любят Hom, поскольку любят лямбда-исчисление.)

> Нет такой категории - "классы".

Принято считать, что нет; но если начать строить башню sets, proper classes, ..., то, кажется, ничто не препятствует тому, чтобы её определить...

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Хороший вопрос. Так ведь ZFC сама определяет категорию Set.

Ну и для локально малой классы ж не требуются. Просто если есть множество Hom(A,B) - то локально малая.

Определить категорию "классы" как-то мне непонятно как - ведь там же нужны морфизмы какие-то, а что у классов за морфизмы?

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

> Так ведь ZFC сама определяет категорию Set.

В какой-нибудь мета-теории это должно быть правильно; интересно, кто-нибудь написал это аккуратно...

> Просто если есть множество Hom(A,B) - то локально малая.

В ZFC никакой другой определить нельзя, насколько я понимаю... Поэтому никакого нетривиального смысле в этом понятии, вроде, не остаётся...

> а что у классов за морфизмы?

"Функции", но только "большие" (бинарные отношения, но являющиеся классами, а не множествами); например, "большая функция", ставящая в соответствие любому множеству другое множество (это если из класса Set в класс Set).

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

> "Функции", но только "большие"

Например, декартово произведение -- морфизм из класса пар множеств в класс множеств.

[nivanych.livejournal.com]

> они все любят Hom, поскольку
> любят лямбда-исчисление

Во-первых, лямбда-исчисление строится на экспоненте, без нужды в Hom'ах.
Во-вторых, есть понятие internal Hom.

[migmit.livejournal.com]

Hom_C(A,B) - нифига не функтор.

[cadadr.livejournal.com]

Ну вот то, что в принципе используется:
http://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+universe

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Это в смысле оказывается, что ВОТ ЭТА ВОТ теория множеств на самом деле единственно правильная? Любопытно, ознакомимся. Не ZFC?

[cadadr.livejournal.com]

Почему правильная? Просто используется, когда возникают технические вопросы. Где-то в Séminaire de Géométrie Algébrique такое было написано.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Ну нет.

Этак мы всякую категорию в множества запишем, в том числе и Set_ZFC.

Да в конце концов, Hom_Cat(1, Set) - это что вообще? Множество тоже? Любопытно, любопытно.