Я тут что-то понял, что народ совершенно не в курсе, но гонит.
Короче, насчет исторической роли теории множеств.
Конечно, никаких множеств у древних греков не было, и у древних египтян не было, и у древних индусов, и у древних китайцев, и у древних евреев. Никто не определял ни круг как геометрическое множество точек, ни число два как множество, состоящее из пустого множества и множества, состоящего из пустого множества, ни функцию как график ее же.
В конце 19-го - начале 20-го века, когда все стали формализовать, все стали формализовать. Ну в смысле, греки-то геометрию еще хз когда формализовали - есть аксиомы, есть типы данных (точки, прямые, круги, углы), есть теоремы, вытекающие из аксиом. Тот факт, что аксиома - это не Истина в Последней Инстанции, а всего лишь условие игры, долго не влезал в головы европейцев; что же касается аксиом теории множеств, то и до сих пор все верят в их истинность - не зная даже точно, о каких аксиомах идет речь.
Ну неважно.
Числа тоже не нуждаются в теории множеств. Пеано когда определял числа, он определил так: 0 число, и если n число, то следующее, n', - тоже число; и при этом 0 не является следующим, и еще, если m'=n', то m=n. Все. Оттуда следует куча всяких свойств, коммутативность умножения, например. А вот тот "факт", что последовательность Гудстейна (Goodstein) сходится к нулю - не следует. Вот есть такая "истина", которая не следует из аксиом арифметики.
Вообще выяснилось, что невозможно изготовить полную систему аксиом арифметики. Т.е. в которой каждое утверждение или истинно, или ложно.
Числа, кстати, можно смоделировать в аксиоматике Эвклида. В геометрии, в смысле. И так получается, что и геометрия Эвклида тоже неполна.
В 20-м веке пошла такая мода - "никто не выгонит нас из рая, в который загнал нас Кантор".
А что это за рай? А это теория множеств. В теории множеств можно много что смоделировать. И числа, и геометрию Эвклида. Но именно что смоделировать. Потому что если сам по себе треугольник - это элемент теории Эвклида, то он не состоит из множеств.
А что такое треугольник, смоделированный в теории множеств? Это вот что такое.
1. Моделируем натуральные числа множествами (есть много способов... что характерно).
2. Моделируем целые числа - пары (натуральное > 0, знак), добавляем ноль.
3. Моделируем рациональные числа - берем тройки (натуральное >0, натуральное >0, знак), и факторизуем по отношению эквивалентности (т.е. каждое рациональное число - это класс эквивалентных троек).
4. Моделируем вещественные числа - берем последовательности рациональных (т.е. графики функций из целых в рациональные), берем только сходящиеся, и вводим отношение эквивалентности - так что это классы эквивалентности функций.
5. Моделируем 2D - это декартово произведение множества вещественных чисел на себя.
6. Объявляем точками такие пары (точки в декартовом произведении), линиями... ну там по-разному можно; треугольники тоже по-разному можно, окружности тоже. Проверяем, что в этой нашей геометрии, при этих определениях, аксиомы Эвклида почему-то выполняются. Ура-ура. Значит, пятая аксиома - истинна! Воистину. Боремся с Энштейном (и Лобачевским, и Минковским).
И так и пошло. Теперь спросишь у студента, "что такое группа"? Это множество с операцией и со свойствами.
Окей-окей. Множество. А множество-то что такое? Это тоже множество? Ан нет; множество - это понятие из теории множеств. У него есть только одно право - быть элементом другого множества. И там аксиомы всякие еще; некоторые очевидные, некоторые непонятные зачем-то, ими топологи пользуются.
Ну хорошо, а без множеств нельзя?
А можно. В лямбда калкулюсе все эти натуральные числа моделируются только так. Тремя способами как минимум. И пары моделируются. И вообще все функциональные структуры данных моделируются. Ну а если есть пары и числа, можно начать строить геометрию. Ну только вычислить у нас получится одни вычислимые объекты. А невычислимые нельзя. То ли дело в теории множеств, там все есть, и невычислимые объекты, и недостижимые кардиналы, и неизмеримые множества. Я не скажу, что это плохо, просто такая теория. Ну хотя бы непротиворечива, и то слава богу.
А кстати, о какой теории множеств идет речь? Когда фанатов начинаешь спрашивать, они начинают уворачиваться, и предлагают компромисс - наивную теорию множеств. Которая, как известно, противоречива.
Ну вот такие дела.
Я никого не ругаю, я просто пытаюсь очевидные вещи рассказать.
И это еще мы в булевой логике сидим. Потому что, как принято считать в Европе, только булева логика дала миру атом, ракету и айфон. И интернет. Ну это ничо, ничо. Ведь мы не будем, наверно, заявлять, что находимся на вершине научных знаний, и всегда правы, как древние пластические греки?
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
