Looking into certain issues...

[juan_gandhi]

Namely, how come Kleisly category for Maybe over Haskell is not very good category, thought about cardinality, negative and complex. Turned out these issues are already covered.

negative
complex
this, too

oh, whatever

What I was trying to figure out, is it true that Set is actually a regular exponential, and its derivative is Set itself? Probably so.

See, I was enticed by the idea of doing derivatives of algebraic types, and how to expand it to other functors. Seems like Set is doable. It is exp().

Now let's do some trigonometry, eh. And some Fourier transforms over databases (and the internets). If you know what I mean.

Comments

это имелось ввиду?

[hill-report.livejournal.com]

Re: это имелось ввиду?

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Похоже, да. ;)

[http://users.livejournal.com/_navi_/]

It's not exp(), it's 0. (oh, just kidding)

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Think... actually, it gets kind of obvious when you think about it.

[algebraic-brain.livejournal.com]

Тут разные способы задавать кардиналы, насколько я понял, через Эйлерову характеристику (у Лейнстера там-же, кажется, еще более интересные pdf-ы про это есть) и через группы симметрии.

А чтобы получилась тригонометрия нужны отрицательные кардиналы для групп симметрии - я пока не смог это интерпретировать. Может Баец знает как примирить это все :)

Есть книжечка Bergeron-Labelle-Leroux "Combinatorial species and tree-like structures", там для и других специй выписаны генерирующие функции: rooted trees, simple graphs, directed graphs, set partitions и т.д и т.п.

Дифференцирование типов, заданных полиномами (или индуктивных - которые рядами) - это несложно. А вот я просил (http://algebraic-brain.livejournal.com/41738.html) уравнения осмысленные придумать - никто не среагировал :)

В программировании, если я правильно понял, о дифференцировании типов в первый раз писали в статье про "one-hole contexts" (http://www.cs.nott.ac.uk/~ctm/diff.pdf).

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Да с того и началось, с one-hole contexts, _navi_ нас тут в Сан Франциско просветил.

А до того я ещё не в курсе был.

Что-то такое звенит в воздухе, но никак не поймать. Например, по-моему, экспонента в ряд разлагается только так, если определить деление как факторизацию по действию циклической группы.

А бинарное дерево, будучи решением уравнения

T = X + T²,

можно представить в виде "расходящегося" ряда

X + 2X² + ..., где коэффициенты - количество различных бинарных деревьев данной кардинальности.

Кстати, про отрицательные кардиналы у Ловира в "множествах для математиков" ответ отрицательный - но там он специфически строит pullback из Set, N, Z.

[algebraic-brain.livejournal.com]

Насколько я понимаю это разные (хотя и связанные) вещи. Дерево можно тоже рассматривать как комбинаторный вид и записать для него генерирующую функцию. Могу выслать книжку, про которую я говорил - там все очень понятно.

>>Что-то такое звенит в воздухе, но никак не поймать

Самое приятное для меня из того, что звенит в этой связи - это категорификация, а именно категорификация квантового осциллятора (http://arxiv.org/abs/math.QA/0601458). Она именно на этой технике построена, например оператор уничтожения - это как раз дифференцирование в том смысле, о котором Вы говорили, т.е. по сути one-hole context.

Если почитать Baez'a, то становится понятно, что в генерирующих функциях можно вообще не переходить к числам, как и в функциональном программировании. Тогда коэффициенты при членах ряда следует интерпретировать просто как группоиды (т.е. категории, где все стрелки обратимы) симметрии.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

А, прекрасно. Значит, и делить не надо. Тогда самое то; логично.

Буду читать. Я, правда, кванты, как бы это сказать, не вполне грокаю.

[algebraic-brain.livejournal.com]

А там и не нужны кванты. ТК вполне достаточно :) Тем ТК и хороша: если ее где-то недостаточно, значит соотв. область знаний еще недоделана :)

Ну это несколько экстремальное заявление, я понимаю, к тому-ж дилетантское.

Я и сам кванты забыл уже, хоть физик по образованию. Уже много лет не по специальности работаю.

[hill-report.livejournal.com]

А чего почитать для введения в эту область и для чего и как оно может использоваться?

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Так вот я там поместил три линка;

в принципе, читать надо Sets for Mathematics, by Lawvere - там это буквально есть.

А вот для чего использоваться... то я и интересуюсь. Я раньше считал, что динамику можно моделировать только в топосах Гротендика где-нибудь над отрезком целых чисел (как poset); но тут выясняется, что диффы можно выражать в виде типов; вот этот вопрос и хочется изучить.

Я должен одну писанину закончить, а потом попробую написать лёгкое чтиво про формальное дифференцирование и разложение в ряды функторов на типах.