![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
x^2 + y^2 = 2010, почему нет (решение)
Dec. 16th, 2009 07:55 pmИтак, имеются желающие узнать решение задачи. Публикуем.
Задача: найти такие целые числа x и y, чтобы сумма их квадратов была равна 2010.
В шестом классе мы проходили признаки деления на три и на девять: число делится на три, если сумма цифр делится на три; то же самое с делением на девять. И тут мы видим, что 2010 делится на три, но не делится на девять. Очень любопытно, потому что дело-то имеем с квадратами.
Если бы оба неизвестных, x и y, делились на три, то их квадраты делились бы на девять. И сумма этих двух квадратов делилась бы на девять. А 2010 на девять не делится. Упс. Значит, какое-то из этих двух не делится на три.
Теперь, предположим x делится на три, а y не делится. Но тогда x^2 делится аж на 9, а y^2 так и не делится на три. Поэтому их сумма тоже не делится на три - а 2010 делится. Упс.
Значит что, значит, оба числа на три не делятся.
Ну вот возьмём x. Если его делить на три, то что-то получим в остатке. Не ноль. Или 1, или 2. Тогда при деленеии x^2 получим 1. В обоих случаях. Как это? Если x = 3*n+1, то x^2 = (3*n+1)^2 = 9*n^2 + 6*n + 1. При делении на 3 в остатке будет 1. А если x = 3*n+2, то x^2 = (3*n+2)^2 = 9*n^2 + 12*n + 4. Делим на три, получаем в остатке 1.
Итак что, x^2 и y^2 при делении на 3 дают в остатке 1. Сложим их. Сумма, при делении на 3, даёт в остатке 2.
А 2010 при делении на 3 не даёт в остатке 2. Оно делится нацело.
Итак, мы перебрали все варианты, и не нашли такого, где бы сумма квадратов делилась на три но не на девять.
Значит что, значит, нет таких целых чисел.
Если есть вопросы - пожалуйста. Разъясним.
Задача: найти такие целые числа x и y, чтобы сумма их квадратов была равна 2010.
В шестом классе мы проходили признаки деления на три и на девять: число делится на три, если сумма цифр делится на три; то же самое с делением на девять. И тут мы видим, что 2010 делится на три, но не делится на девять. Очень любопытно, потому что дело-то имеем с квадратами.
Если бы оба неизвестных, x и y, делились на три, то их квадраты делились бы на девять. И сумма этих двух квадратов делилась бы на девять. А 2010 на девять не делится. Упс. Значит, какое-то из этих двух не делится на три.
Теперь, предположим x делится на три, а y не делится. Но тогда x^2 делится аж на 9, а y^2 так и не делится на три. Поэтому их сумма тоже не делится на три - а 2010 делится. Упс.
Значит что, значит, оба числа на три не делятся.
Ну вот возьмём x. Если его делить на три, то что-то получим в остатке. Не ноль. Или 1, или 2. Тогда при деленеии x^2 получим 1. В обоих случаях. Как это? Если x = 3*n+1, то x^2 = (3*n+1)^2 = 9*n^2 + 6*n + 1. При делении на 3 в остатке будет 1. А если x = 3*n+2, то x^2 = (3*n+2)^2 = 9*n^2 + 12*n + 4. Делим на три, получаем в остатке 1.
Итак что, x^2 и y^2 при делении на 3 дают в остатке 1. Сложим их. Сумма, при делении на 3, даёт в остатке 2.
А 2010 при делении на 3 не даёт в остатке 2. Оно делится нацело.
Итак, мы перебрали все варианты, и не нашли такого, где бы сумма квадратов делилась на три но не на девять.
Значит что, значит, нет таких целых чисел.
Если есть вопросы - пожалуйста. Разъясним.
