![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
спешу поделиться
Jan. 28th, 2011 04:24 pmВчера меня ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
nivanych ткнул носом в прекрасное - коалгебры.
Короче, взять хоть какой функтор F, коалгебрами называются стрелки вида X -> FX с понятными морфизмами, квадратами
(btw, used my presheaf:)
Ну коалгебры и коалгебры: если взять знакомую монаду
, строящую списки в качестве свободных алгебр, то для неё свободные (инициальные) алгебры представляют собой списки (над алфавитом А), а терминальные коалгебры... что там будут за терминальные коалгебры? Бесконечные потоки символов из алфавита А? Похоже на то.
Ну это была интродукция. А теперь рондо каприччиозо.
Возьмём категорию частично-упорядоченных множеств (посетов), и определим каузальный объект как такой посет, у которого есть начало и конец (0 и 1). Почему каузальный - начало есть "причина всему", а конец есть "вывод из всего".
Определим такой функтор - последовательное присоединение каузального объекта к самому себе, началом к концу, как, э... нет, не будем вдаваться в анальные аналогии. Последовательное соединение.
Так вот, континуум есть терминальная коалгебра соединения каузальных объектов.
Как это так? А вот, если возьмём отрезок вещественных чисел (в Москве можно взять отрезок действительных чисел), то он является каузальным объектом, и является коалгеброй над таким функтором: соединение двух отрезков подряд даёт каyзальный объект. Более того, т.к. это соединение изоморфно исходному отрезку, то он является неподвижной точкой.
Почему континуум? Да потому что любой отрезок делится бесконечно пополам на изоморфные отрезки. Почему это именно алеф1, мне как-то непонятно, но т.к. тут, похоже, имеет место нефундированная теория множеств, то и на алефы как-то расчитывать не приходится.
nivanych ткнул носом в прекрасное - коалгебры.Короче, взять хоть какой функтор F, коалгебрами называются стрелки вида X -> FX с понятными морфизмами, квадратами
(btw, used my presheaf:)
Ну коалгебры и коалгебры: если взять знакомую монаду
, строящую списки в качестве свободных алгебр, то для неё свободные (инициальные) алгебры представляют собой списки (над алфавитом А), а терминальные коалгебры... что там будут за терминальные коалгебры? Бесконечные потоки символов из алфавита А? Похоже на то.Ну это была интродукция. А теперь рондо каприччиозо.
Возьмём категорию частично-упорядоченных множеств (посетов), и определим каузальный объект как такой посет, у которого есть начало и конец (0 и 1). Почему каузальный - начало есть "причина всему", а конец есть "вывод из всего".
Определим такой функтор - последовательное присоединение каузального объекта к самому себе, началом к концу, как, э... нет, не будем вдаваться в анальные аналогии. Последовательное соединение.
Так вот, континуум есть терминальная коалгебра соединения каузальных объектов.
Как это так? А вот, если возьмём отрезок вещественных чисел (в Москве можно взять отрезок действительных чисел), то он является каузальным объектом, и является коалгеброй над таким функтором: соединение двух отрезков подряд даёт каyзальный объект. Более того, т.к. это соединение изоморфно исходному отрезку, то он является неподвижной точкой.
Почему континуум? Да потому что любой отрезок делится бесконечно пополам на изоморфные отрезки. Почему это именно алеф1, мне как-то непонятно, но т.к. тут, похоже, имеет место нефундированная теория множеств, то и на алефы как-то расчитывать не приходится.
