сопряженные функторы-2

Итак, пусть есть сопряженная пара функторов, F ⊣ G (это обозначение такое). Повторяя из предыдущей части: стрелки F(X) → Y находятся в естественном взаимно-однозначном соотвествии со стрелками X → G(Y).

Среди стрелок вида f: F(X) → Y есть одна интересная - idF(X): F(X) → F(X); ей соответствует α(idF(X)): X → G(F(X)). Для неё есть специальное обозначение, ηX, и она называется единицей.

Сейчас покажу некоторые свойства этой единицы.

1. Она естественна, т.е. коммутативен следующий квадрат:

(a)

Откуда эта естественность? Как доказать, что квадрат коммутативен, т.е. что композиция верхней и правой стрелок - то же самое, что композиция левой и нижней? Ну воспользуемся естественностью, определённой в прошлой серии:

(b)			<===>
(c)			<===>

Сначала разберёмся, что получается, если пройти по верхнему-правому пути в диаграмме (a).

Нам надо понять, что за стрелка обозначена знаком вопроса.

Согласно диаграмме (b), эта стрелка (композиция верхней и правой) является не чем иным, как α(???), где ??? есть диагональ в диаграмме
- но это же просто F(f)! Так что наша искомая диагональ в квадрате (a) есть не что иное, как α(F(f)).

Теперь посмотрим, что получится от композиции вдоль левой и нижней граней диаграммы (a).

Согласно диаграмме (c), этот треугольник, давайте нарисуем его отдельно, эквивалентен следующему:

Понятно, что на диагонали всё та же F(f), так что "нижняя диагональ" равна "верхней", наш квадрат (a) коммутативен, и, следовательно, этот набор стрелок, ηX: X → G(F(X)), есть естественное преобразование.

Вставка. Естественное преобразование между двумя функторами F и G - это набор стрелок, делающий для всякого f: A →B квадрат вида коммутативным.

Аналогично для сопряженной пары функторов мы можем, по idG(X): G(X) → G(X), получить β(idG(X)): F(G(X)) → X. Она называется коединицей и обозначается εX; как и ηX, она является естественным преобразованием (из функтора G;F в функтор IdD, где D, если вы помните - категория, где функтор F принимает значения, и где задан функтор G.

Дальше мы узнаем, что для сопряженности функторов достаточно задать эти два преобразования, единицу и коединицу, с определёнными свойствами. Но мы ещё не увидели никаких свойств, кроме естественности.

Ну понемножку.

a Paris...

Присоветуйте люди добрые, сами-то мы не местные, если в Париже квартирку снять на недельку с небольшим, то где это лучше делать, и где это лучше не делать? Мы планируем шляться по музеям и шанзэлизеям (а миди, а минюи) и т.п.; неприхотливы как дворняжки, но не любим плохих людей.