сопряженные функторы-2
Jul. 22nd, 2012 08:01 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
juan_gandhiИтак, пусть есть сопряженная пара функторов,
Среди стрелок вида
Сейчас покажу некоторые свойства этой единицы.
1. Она естественна, т.е. коммутативен следующий квадрат:
Откуда эта естественность? Как доказать, что квадрат коммутативен, т.е. что композиция верхней и правой стрелок - то же самое, что композиция левой и нижней? Ну воспользуемся естественностью, определённой в прошлой серии:
Сначала разберёмся, что получается, если пройти по верхнему-правому пути в диаграмме
Нам надо понять, что за стрелка обозначена знаком вопроса.
Согласно диаграмме
- но это же просто
Теперь посмотрим, что получится от композиции вдоль левой и нижней граней диаграммы
Согласно диаграмме (c), этот треугольник, давайте нарисуем его отдельно,
эквивалентен следующему: 
Понятно, что на диагонали всё та же
Вставка. Естественное преобразование между двумя функторами F и G - это набор стрелок, делающий для всякого
коммутативным.
Аналогично для сопряженной пары функторов мы можем, по
Дальше мы узнаем, что для сопряженности функторов достаточно задать эти два преобразования, единицу и коединицу, с определёнными свойствами. Но мы ещё не увидели никаких свойств, кроме естественности.
Ну понемножку.
F ⊣ G (это обозначение такое). Повторяя из предыдущей части: стрелки F(X) → Y находятся в естественном взаимно-однозначном соотвествии со стрелками X → G(Y).Среди стрелок вида
f: F(X) → Y есть одна интересная - idF(X): F(X) → F(X); ей соответствует α(idF(X)): X → G(F(X)). Для неё есть специальное обозначение, ηX, и она называется единицей.Сейчас покажу некоторые свойства этой единицы.
1. Она естественна, т.е. коммутативен следующий квадрат:
| (a) |  |
Откуда эта естественность? Как доказать, что квадрат коммутативен, т.е. что композиция верхней и правой стрелок - то же самое, что композиция левой и нижней? Ну воспользуемся естественностью, определённой в прошлой серии:
(b) |  | <===> |  | |
(c) |  | <===> |  |
Сначала разберёмся, что получается, если пройти по верхнему-правому пути в диаграмме
(a).Нам надо понять, что за стрелка обозначена знаком вопроса.
Согласно диаграмме
(b), эта стрелка (композиция верхней и правой) является не чем иным, как α(???), где ??? есть диагональ в диаграмме - но это же просто F(f)! Так что наша искомая диагональ в квадрате (a) есть не что иное, как α(F(f)).Теперь посмотрим, что получится от композиции вдоль левой и нижней граней диаграммы
(a).Согласно диаграмме (c), этот треугольник, давайте нарисуем его отдельно,
эквивалентен следующему: Понятно, что на диагонали всё та же
F(f), так что "нижняя диагональ" равна "верхней", наш квадрат (a) коммутативен, и, следовательно, этот набор стрелок, ηX: X → G(F(X)), есть естественное преобразование.Вставка. Естественное преобразование между двумя функторами F и G - это набор стрелок, делающий для всякого
f: A →B квадрат вида коммутативным.Аналогично для сопряженной пары функторов мы можем, по
idG(X): G(X) → G(X), получить β(idG(X)): F(G(X)) → X. Она называется коединицей и обозначается εX; как и ηX, она является естественным преобразованием (из функтора G;F в функтор IdD, где D, если вы помните - категория, где функтор F принимает значения, и где задан функтор G.Дальше мы узнаем, что для сопряженности функторов достаточно задать эти два преобразования, единицу и коединицу, с определёнными свойствами. Но мы ещё не увидели никаких свойств, кроме естественности.
Ну понемножку.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2012-07-23 03:57 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 04:46 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 04:40 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 04:46 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 04:55 am (UTC)и всегда стоял вопрос "нафига?"
даже хвостики простейших интегралы в реальной жизни нигде не видны (или хорошо попрятаны)
или, к примеру, дифуры... "ооо! они используются в газодинамических расчетах"
берешь в руки лопатку и смотришь на нее как неандерталец... и где там дифур?
вот я и интересуюсь, у этих штуковин какой практический смысл? (оставим за бортом такой аспект, как "красота математических построений")
no subject
Date: 2012-07-23 05:07 am (UTC)Я однажды методом Годунова...
Что ж касается сопряженных функторов, то, как я выше писал, они связаны с монадами и комонадами, а монады - с аппликативными функторами, а аппликативные функторы - это такая штука, из-за которой pacemaker внутри вас если и сломается, то с меньшей вероятностью.
no subject
Date: 2012-07-23 05:00 pm (UTC)между "школьной" и "институтской", между "институтской" и "практической" математикой всегда лежала пропасть
и поэтому школьники воспринимали "всякую евклидовку хрень" как... как хрень
это же типичный gap, который вполне себе разумный математик вполне себе может преодолеть...
...но, как мы видим, математики этот gap не смогли преодолеть
no subject
Date: 2012-07-23 08:09 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 10:00 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 11:09 am (UTC)а вот откуда эти диаграммы берутся - очень интересный вопрос. вот через биекцию стрелок уже виднеется ответ.
no subject
Date: 2012-07-23 11:13 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 01:55 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 01:58 pm (UTC)UPD: а, извиняюсь, они там есть.
no subject
Date: 2012-07-23 02:18 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 02:20 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 04:54 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 07:14 pm (UTC)Там хороший решёточник. Который понял, например, почему соответствие Галуа, это сопряжённость между соответствующими предпорядками.
И за моноидальные категории тоже понял. И за топосы немало.
Вот за всякие (слабые) комплексы Кана я рассказать не успел. Да и там кто-то против логики, а кто-то против "этих страшных гомологий".
А у меня времени мало нормально готовиться, а каждый раз при выступлениях позориться мне неприятно...
Впрочем, со временем я проблему скоро поборю. Хотя и боюсь, что придётся уволиться.
no subject
Date: 2012-07-23 05:03 pm (UTC)Это культовая фраза в среде хаскелистов,смысла ее никто :-) не понимает. Такое как бы заклинание. Примерно как «гомоморфный образ группы будь во имя коммунизма».
no subject
Date: 2012-07-23 05:09 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 05:18 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 07:21 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 09:34 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-24 03:51 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 07:21 pm (UTC)И со своей стороны — очень, очень, очень настоятельно рекомендую разобраться, що це таке.
Как минимум, за "моноид в категории эндофункторов" сможете объяснять парой росчерков пера! ;-)
no subject
Date: 2012-07-23 07:40 pm (UTC)каким образом это добавит бабла в "каселёк"?
no subject
Date: 2012-07-23 07:49 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 08:06 pm (UTC)Ну и зарабатывать с более чистой кармой ;-)
no subject
Date: 2012-07-23 07:48 pm (UTC)Ну разве что диаграммы-то не плоские, в случае 2-категорий... как у Шульмана на салфетке - с облачком вокруг.
no subject
Date: 2012-07-24 03:55 am (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 09:36 pm (UTC)no subject
Date: 2012-07-23 07:31 pm (UTC)Ну, немного обшибся за совет про диаграммы ;-)
Но пусть этот совет прочитают многие!
И таки освоят!!
рисование
Date: 2012-07-24 10:19 pm (UTC)Суть же PGF-TikZ и PSTricks!!!
Re: рисование
Date: 2012-07-24 10:22 pm (UTC)