задачка из теорвера

[juan_gandhi]

Тут участник green_fr  задал задачку:

Есть колода карт со, скажем, тремя тузами. Мы вытаскиваем карту за картой; какова средняя ожидаемая длина последовательности до туза.

Я сначала было, забыв комбинаторику, понёс чушь. Потом понял, что это же чёрные и белые шары в коробке. Вот и программа тут внизу.

Но смешно другое. Иду я сегодня из магазина и вычисляю. И тут бац - на тротуаре и на дороге рядом разбросаны карты. Несколько лицами (или как их там) кверху. Ни одного туза. А одна карта рубашкой кверху, под машиной лежит. Перевернул. Туз червей.

 

import scala.language.implicitConversions
import scala.language.postfixOps

@main
def main(): Unit =
  def fact(n: Int): BigInt = if (n < 2) 1 else (n * fact(n - 1))

  class Cards(nCards: Int, nAces: Int):
    val n = nCards-nAces
    def `probability of first ace at`(k: Int) = {
      val `probability of k-1 non-aces` =
        (fact(n) * fact(nCards - k + 1)).toDouble / (fact(n-k+1) * fact(nCards)).toDouble

      val `probability of k-th ace` = nAces.toDouble / (nCards-k)
      `probability of k-1 non-aces` * `probability of k-th ace`
    }

    def `expected run` = (1 to n).map(i => i*`probability of first ace at`(i)).sum

  println(Cards(52,4).`expected run`)

>10.933092006033183

Comments

[volynsky]

это к женщине. берегитесь)

[juan_gandhi]

Женщина приедет 18-го марта...

[volynsky]

это долгосрочный прогноз

[sassa_nf]

How can you get 52 cards, but only 3 aces? 😹😹

[juan_gandhi]

Good question. Fixed to make it 4.

[juan_gandhi]

Аплодисменты. Спасибо огромное. Ценю профессионализм. И (ментальная) картинка красивая.

[juan_gandhi]

С рекуррентными формулами или с C(n,k) - в сущности, одно и то же.

[sobriquet9]

У меня другой ответ получается, (52-4)/5=9.6. Веоятность того, что бубновая десятка окажется в колоде перед всеми тузами равна одной пятой. То же касается любой другой карты, которая не туз, которых 52-4.

[juan_gandhi]

Я бы выслушал более подробные разъяснения.

[sobriquet9]

Какой шаг требует разъяснения?

1/5 получается из равновероятности пяти случаев:

1. Бубновая десятка-туз-туз-туз-туз

2. Туз-бубновая десятка-туз-туз-туз

3. Туз-туз-бубновая десятка-туз-туз

4. Туз-туз-туз-бубновая десятка-туз

5. Туз-туз-туз-туз-бубновая десятка

48 получается из того, что такой же аргумент можно применить к любой карте, которая не туз.

Матожидание количества карт до туза равно сумме матожиданий таких карт.

[juan_gandhi]

Рассуждение роскошное, и очень правдоподобное - но как это матожидание количества карт до туза равно сумме "матожиданий таких карт"?

Короче, роскошно, но надо переварить ваши аргументы (вони менi дуже подобаються).

[sobriquet9]

Представьте себе, что у вас есть чёрный ящик с кнопкой. Если нажать на кнопку, с вероятностью 20% из ящика выпадает монета. Если нажать на кнопку 48 раз, сколько всего выпадет монет (примерно)?

[juan_gandhi]

Да блин, это конечно. Но уж больно нестандартно выглядит.

И что мы мучались с "комбинаторикой", вот вопрос. Всё так просто, если мудро рассудить.

[sassa_nf]

Induction works too

[sassa_nf]

Скільки карт до туза? Ну... десяток чирви - 1/5, двійок пік - 1/5, ... всіх карт разом - 48/5

[juan_gandhi]

Well, sounds convincing, of course.

[sassa_nf]

(Forgive me my silly fascination, I didn't think about it this deep) Interesting approach.

(Of course, I agree numerically.)

[sassa_nf]

Doesn't seem right. What will it print for Cards(2, 1)? Is that expected?

[juan_gandhi]

It does look stupid, yes.

[nz]

Есть колода карт со, скажем, тремя тузами. Мы вытаскиваем карту за картой; какова средняя ожидаемая длина последовательности до туза.

<юрист>
В именно такой формулировке - никакая, т.к. количество карт в колоде не указано, а аргумент "а стандартная" разбивается о три туза.
</юрист>