Observations

Думаю, с чего начать, с комонады или с сопряженных... давайте-ка сначала пример с комонадой.

Итак, в предыдущей серии мы брали категории C=Set и D=Set×Set - множества и пары множеств, и два функтора, Δ(X) = (X,X) и Π((X,Y)) = X×Y.

Первый функтор - диагональ, он множеству сопоставляет пару, состоящую из двух экземпляров оного, а второй паре множеств сопоставляет декартово произведение; и эти функторы были сопряжены, Δ ⊣Π.

У функтора Δ на самом деле есть не только правый сопряженный, Δ ⊣Π, но и левый, Σ ⊣Δ. Что это за функтор такой? Давайте не надеятся на чудо, а просто его построим. Нам нужно, чтобы по (f1,f2): (Y1,Y2) &: ; (X,X) мы могли взаимно-ознозначно получать &alphal(f1,f2): Σ(Y1,Y2) → X.

Напомню, что стрелка (f1,f2) в Set×Set - это просто пара обычных стрелок (функций) в Set.

Заданы две функции, f1: Y1 → X и f1: Y1 → X. Что это нам даёт? Это нам даёт, взаимно-однозначно, функцию из непересекающегося объединения: Y1 ∐ Y2 → X.

Так что наш функтор Σ - это просто объединение двух компонент. Ну а так как он левый сопряженный к Δ, то композиция ΔΣ, которая для множества X возвращает X ∐X, является комонадой.

Думаю, понятно как определить ε: X.т∐X → X; а δ: X ∐ X → X ∐ X ∐ X ∐ X, как и во вчерашнем примере, складывает первую компоненту слева в первую компоненту справа, а последнюю - в последнюю.

Ну а теперь к монадам и сопряженным функторам.

Вот давайте вообще начнём с монады T: C → C, со всеми её монадическими законами (единица, умножение, ассоциативность умножения и единичность единицы).

Определим алгебру над монадой: это объект A и стрелка a: T(A) → A, обладающая правильными свойствами. А именно:


Я тут для простоты выбросил много скобок... ну что вы хотите, я же скальшик а не лиспщик.

Категория алгебр над монадой T в категории C обозначается C^T.

Из алгебр, понятное дело, есть забывающий функтор UT. в категорию C - просто забудем, что есть какое-то действие. К этому забывающему функтору UT имеется левый сопряженный функтор FT: C → C^T, строящий по объекту X свободную алгебру, которая на самом деле выглядит так: μX: TTX → TX.

Откуда сопряженность, FT ⊣ FT? Если есть алгебра b: TB →B, и f: A → B, то имеет место коммутативная диаграмма


- которая всё и объясняет.

Итак, взяв любую сопряженную пару, можно построить монаду, а по монаде - сопряженную пару (свободный, забывающий). Очевидно, что монада, соответствующая этой паре, и есть исходная монада; но одной монаде могут соответствовать много разных сопряженных пар (их целая категория); пара (свободный, забывающий) - предельный случай. Вот другой предельны случай - категория Клейсли.

Возьмём монаду T: C → C и построим на её основе новую категорию, C_T, состоящую из тех же объектов, что и исходная категория, но с добавлением стрелок. А именно, всякая стрелка f: :X → TY в C будет стрелкой f: :X → Y в C_T. (Это, к примеру, если у нас монада Option, то теперь стрелками будут все частичные функции.) Композиция f;g определяется через ; все стрелки исходной категории превращаются в .

Так что имеется вложение IT: C → C_T; и к нему я хочу построить левый сопряженный, чтобы было KT ⊣ IT.

Эту сопряженность можно выразить как

f: ITX → Y

<====>

?: X → KTY

но, по определению C_T, это всё равно что задать

f: X → TY

<====>

?: X → KTY

Определим KTY = TY - и на этом всё.

Для монады Option в множествах категорией Клейсли будет категория множеств и частичных функций, а категорией алгебр - категория множеств с выделенной точкой.

Для монады X2 в множествах категорией Клейсли будет категория множеств и пар функций, а категорией алгебр - категория множеств с заданной бинарной операцией.

Сказать мне вроде на эту тему больше нечего, если не подскажут, чего ещё добавить. Какие-нибудь специфические монады с комонадами?