Observations

А скажите, f $ a b и f a b - одно и тоже? Ведь не одно и то же.

А почему тогда, к примеру, Maybe аппликативен?

instance Applicative Maybe where
   pure = Just
   (Just f) <*> (Just x) = Just (f x)
   _        <*> _        = Nothing

А потому, что ассоциативности хотя и нету, есть ассоциатор. Грубо говоря, a (b c) -> (a b) c, изоморфизм.

Так что зря я стремался.

А для моноидального функтора нужна будет ещё когерентность (coherence).

Вот. Извините.