revisiting mathoverflow

[juan_gandhi]

https://mathoverflow.net/questions/171809/building-a-product-of-two-categories 

It was a pretty legit question, but Doctor Wofsey says it's off-topic, and all categories are based on sets; seems like, in his view all theories are based on sets.

So, what should we do with a bunch of idiots pretending to be mathematicians? I don't know. I'm not one. But neither are they.

Reasked.

Comments

[gracheeha]

Наверное, Бурбаки по-прежнему владеют умами части математиков.

[juan_gandhi]

Лечится сменой поколений, конечно. Да и то не всегда. Если чему-то учат в школе, то каюк уже.

[vit_r]

Я, конечно, скажу сейчас ересь, но тут та же самая ошибка, что и с "математическими основами объектно-ориентированного подхода".

Теория какой угодно фигни не может существовать сама по себе. Человек должен её понять и как-то с ней оперировать. А операции с множествами - это то, на чём основана работа мозга. Так что, теория множеств, это не столько основа, сколько мостик к голове.

Я бы даже сказал, нечётких множеств, когда человек понимает, что два нечта имеют что-то общее, но объяснить что именно, не может ;-)

[juan_gandhi]

Это, конечно, чушь. Просто вам в юности вдолбили, что "все основано на множествах".

Насчет же "нечетких множеств" - ну это маленький шажок в нужном направлении. Умножьте на время. Учтите, что шкала у каждого своя. Учтите, что в микромасштабах все не так. Это немножко открывает глаза на тот факт, что "общей базы" не существует.

А также есть и строгое доказательство отсутствия "общей булевой базы"; но оно сложное.

[vit_r]

Просто вам в юности вдолбили,

Вот не надо этих беспочвенных обвинений. Как работает мозг я знаю. Там и морфология этому способствует. И не надо спорить с тем, что я не писал.

Насчёт же математики. Можно объяснить категории не привлекая теорию множеств. Но много ли человек это поймут? Я уж не говорю о том, чтобы использовать.

[juan_gandhi]

Логику объясняют же, не привлекая теорию множеств. И лямбда калкулюс.

Аналогично.

А как вы теорию множеств объясняете? Привлекая теорию множеств? Turtles all the way down?

Раз вы знаете, как работает мозг, наверно, можете объяснить, например, как древние греки манипулировали геометрией без всяких множеств.

[vit_r]

Логику объясняют же, не привлекая теорию множеств.

Объяснение логики не базируют на теории множеств. Слово "привлекают" очень эластично и тут можно поговорить о применении свойств множеств. Но я тут этого делать не буду.

Аналогично.

Похоже, это не канонический подход. По крайней мере всё, что я видел, содержит объяснения или примеры с множествами. (Может быть, в этом причина того, что вокруг разброд и шатания)

как древние греки манипулировали геометрией без всяких множеств.

Как они отличали треугольник от квадрата?

[juan_gandhi]

Я не специалист. Я думаю, вопрос такой не стоял. Но можно сосчитать количество углов... наверно.

[vit_r]

Ну замечательно. Разбили на множества по количеству углов.

[juan_gandhi]

Греки? Разбили на множества?

А вот откуда вы взяли, что треугольники образуют множество? В какой теории множеств, если не секрет?

[vit_r]

Не-а. Это не про то.

Наводящий вопрос. Что появляется раньше: интуитивное понимание, вербально-графическое выражение предположения или построение с помощью доказательства?

[juan_gandhi]

Я не понимаю этого вопроса.

[vit_r]

Что-то такое я и предполагал. Ладно, когда-нибудь потом попытаюсь объяснить. Всё равно, в планах стоит.

[sassa_nf]

Why sets and not categories? ;-)

[vit_r]

Проще.

[sassa_nf]

Greeks are more likely to use categories :) (albeit in a different meaning)

[vit_r]

Why?

[sassa_nf]

κατηγορία

Did they have a zero? I don't think so. There were religious battles about that, if I recall well.

Then they may have difficulty thinking of an empty Set, too. There may have been no way to describe the intersection of the "set" of squares and the "set" of triangles.

Did they have functions between "sets" of squares and triangles? Without functions talking about "sets" is not entirely meaningful.

You could still categorize things - "all things with three angles are triangles", but does that make them "a set of triangles"?

You can still use universal propositions - "all triangles define a 3-d plane", but does that necessitate "a set of triangles" to exist as a concept?

[vit_r]

1. You think as a modern mathematician. This is not the correct base.

2. What did they do in cases such as X - V - II - III ?

[sassa_nf]

1. of course, not. I think like a modern student of mathematics. :)

But point taken, I do come from modern understanding of what a set theory must have. On the other hand, if we discard modern understanding, it is difficult to see why some other criterion would not be arbitrary.

2. NaN. As far as I recall, ancient Europeans did not consider zero as a number, and would write "nothing". I can't remember when ancient Asians (won't even go into Persia vs India) decided that zero is a number, nevertheless, it wasn't immediately obvious to them. Zeros, bottoms, empty sets are not easy to understand.

[vit_r]

Слово "nulla" ни чем не хуже комбинации "XXI". Впрочем, я объяснять не буду. Мне влом на английский переходить. Он переводит меня в другой режим.

[sassa_nf]

It's noticeable when sexagesimal system has signs for all numbers 1..59, but not 0.

It's noticeable when a positional system has a sign for 0 for a missing place-value (like, to mark zero units in 10), but does not use it for zero.

[sassa_nf]

Do many people who studied set theory understand functions ∅→A?

[juan_gandhi]

Good question. E.g. matrices 0х5 and 0x10 look the same to them.

[vit_r]

Where is the problem? :-/

[sassa_nf]

Like, what does it do?

[timelets]

MacLane, as well as probably any other category book, does not hesitate to define a product of two categories as a category consisting of pairs of objects, etc.

Now my question is: what law of nature or logic or anything allows to create such pairs?

I'd say that unlike in e.g. physics, in math you can define concepts into existence. Such concepts are abstract constructs; they don't have to follow from any law of nature.

[juan_gandhi]

The short answer: No.

[timelets]

My short answer would be longer: N/A

[bytebuster]

Based on my personal (subjective and therefore wrong) impression, I would say that large SE sites like Math.SE, Ask Ubutnu, English.SE, and several others are very tough places to get your posts answered, leave alone the rep points.
Look, ~30k views, only 2 votes and 2 barely adequate answers.
Stack Overflow itself is a much better place since the entire community is split into platform-specific fractions.

[epimorphisms_split]

> and all categories are based on sets

For a suitable definition of "set".

Can't vouch for any category theory book, but MacLane does operate within the framework of a set theory. Which specific set theory? I don't know if it has a name, but it is somewhat reasonably described in section 6 "Foundations" of chapter I.

[juan_gandhi]

It's 2018 now. Probably I.6 and I.7 look more naive now than they did over 50 years ago. E.g. Lawvere's notions of theories and models was not much known (if existed). Lawvere spent decades, starting, I guess, about 1956, pondering on what t.f. are those sets.

As a theory, CT does not need sets. But of course set-based models are convenient. Just keep in mind, once in set theory, we are in a Boolean logic. Which is weird, is not it?

[epimorphisms_split]

Sure one can do CT without any underlying foundation, but why would MacLane want to do that? Even today. It doesn't look like his goal was developing new foundations or anything like that.

[juan_gandhi]

I don't know why. Why don't logicians base their logic (and/or lambda calculus, typed or not) on set theory? What is set theory based on?

[epimorphisms_split]

I don't know either. Never was that interested in foundations.

[66george]

Вот я тоже - придумал лямбда-исчисление с явной альфа-редукцией (переименовывающей связанную переменную) и назвал его "лямбда-альфа". И вот они недовольны! Сами же называют свои работы "основания математики 21-го века"