кошмар в головах народных

[juan_gandhi]

Вот тут устроил дискуссию на тему "что есть уравнение". И в учебнике, и в вики пишут, что "12 = 5+7" - это уравнение.

Это не уравнение. Это числовое равенство. Верное числовое равенство.

Печально, короче. И ведь не переубедишь эти толпы педагогов, которые все лучше знают. 

Аяяй.

На вики дискуссия.

Comments

[ircicq]

Помнится, нас учили называть "тождество" и записывать
12 ≡ 5+7

[juan_gandhi]

Вот, например так. Это, конечно, не совсем тождество. Нас учили, что это "верное числовое равенство".

[a2is]

Почему не совсем тождество? Потому что переменных нет?

[juan_gandhi]

Затрудняюсь ответить; может быть и тождество. Я что-то уже не уверен, что знаю определение тождества. Может быть.

[dluciv]

Вообще ни разу не тождество.

Тождество — это то, что унифицируется (в Прологе '='), а равенство — что вычисляется (в Прологе 'eq').

[nechaman]

Ага.

[gxachaturov]

Любишь ты дискуссии. А с толковым словарем английского языка не пробовал дискутировать? По совпадению, я сегодня наткнулся там (Collins COBUILD) на equation. Очень похоже на вики.

Кстати, из словарей он мне больше всех нравится.

[juan_gandhi]

Да зацепило.

[glav]

толковые словари скоро могут изменить слово расизм - там простора для дискуссии не будет!

(вот, кстати, и связь между математикой и расизмом!)

[chuka_lis]

а, прикольно вышло как-то - про тождество то тут и не упоминается.
несколько задач по тригонометрии из домашки, оказались, после преобразований, тождествами.
ну что то вроде cos^2(a)=1-sin^2(a)
но молодежь то и не знала такого слова и понятия (саму формулу то да, как и ее происхождение), да и того, что тождество можно "решитЬ"- тоже.
разумеется, "в классе на уроке" ничего подобного не проходили.
знания должны были или интуитивно прорасти, или снизойти свыше, дома, в процессе решения домашки.

[gena_t]

А, например, (5x-x) = 4x - это уравнение?

[juan_gandhi]

Выглядит как уравнение.

[gena_t]

Но тогда наверное и 0=0 нужно считать уравнение? Или 0=1.

Тогда можно будет говорить про преобразования уравнения из одного в другое, а иначе придётся вводить новые слова.

[sassa_nf]

Logically there is a difference.

a=b is a proposition. (propositional equality)

Some of these can be decided to be:

0. definitional equality (0 = 0; by definition)
1. computational equality (2+2 = 4; by applying reductions, eg δ-reduction here)
2. judgemental equality (a+b = b+a; by constructing a chain of judgements, in the end composed from axioms)

0=1 - a proposition of equality, which can be shown to be judgementally false (from axiom 8 - ∀ x, S(x) = 0 is false).

[thedeemon]

The question is, in which case such proposition is called an equation.

[sassa_nf]

...always?

https://ncatlab.org/nlab/show/equation

[thedeemon]

Works for me. You just didn't mention this above, so the reply wasn't answering the question.

[juan_gandhi]

Thank you.

[nechaman]

Это нет, по-моему. Вот, если бы там было деление на ноль... Тогда, возможно.

[gonchar]

Извините, ради Бога, не улавливаю сути спора.
Я понимаю так примерно.
Уравнение есть высказывание, что значения двух функций равны при НЕКОТОРЫХ значениях аргументов, входящих в некоторые подразумеваемые (рассматриваемые) множества значений аргументов.
Такое определение не содержит ограничения на число аргументов и вид функций.

Т.е. А=Б есть уравнение вида ф1(А) = ф2(Б), причём ф1(х)=х, ф2(х)=х

Можно в качестве подмножества уравнений выделить тождество: при нём "некоторых" заменится на "любых".

Т.е. если мы рассматриваем то, что слева и то, что справа, как ФУНКЦИИ каких-то аргументов, получаем уравнения. Вырожденный случай х+1=2 по этому определению тоже проходит, справа ф(х)=2.
Т.е. совсем вырожденный случай - если ф1(х) = 4 для любого х, а ф2(х) = 2+2 для любого х (функции так определяем), то по этому определению 4 = 2+2 есть уравнение.

Если же нет, если не функции - то это не уравнения.
Например, если 2 и 4 - лишь натуральные числа, то 4=2+2 не есть уравнение, а небольшая теоремка. :)

Впрочем, если 2, 4 и = суть символы, то 2+2=4 будет даже не теоремой, а строкой символов.

А что бы сказали даосы, я и не представляю. :)

Т.е. вопрос определений, не более. Почему спор-то? :)

[realwired]

по определениям

[juan_gandhi]

Все примерно так и есть.

[sassa_nf]

equation is a proposition of equality.

[gonchar]

Кстати! А как с вообще правильным пониманием равенства в математике?!
Не слишком ли оторванно от жизни преподают студентам это понятие?

Что в равенствах должно matter?

[sassa_nf]

> Что в равенствах должно matter?

Understanding of how the thing is split into different concepts. But I am not a teacher.

Seeing a difference between propositions and proofs, and observing different flavours of proofs came to me way too late.

Precise terminology helps in philosophical debates.

[juan_gandhi]

У нас в теории топосов равенство - это классификатор диагонали.

[gonchar]

Теория топосов...
Мощно. Но ни фига не понятно. :)

[juan_gandhi]

А, на самом деле все несложно. Это логическая функция на парах (x,y), такая, что истинна она только на парах (x,x). Такие пары получаются с помощью диагонали - вложения A в A×A, x ↦ (x,x)

[gonchar]

Ну да, так элементарно.
... хотел спросить, а зачем это, да что, да как... и решил не спрашивать.
Любопытство - а времени нет. :) Жизнь, к сожалению, ограничена... начинаешь это понимать со временем.

[thedeemon]

A F=ma и E=mc^2 это не уравнения?

[gonchar]

Зависит от определения.
Если брать моё определение, то тогда зависит от смысла, которое Вы вложили в эти две записи.

Но я всё равно не улавливаю глубокого смысла в споре. Может, устал :)

[realwired]

--- И ведь не переубедишь эти толпы педагогов, которые все лучше знают

жена два дня пыхтела, перешивая одежки для больного ребенка после индуса-"портного" (в стандартные вещи нужно было кое-какие модификации внести)

девушка, которая попросила - очень переживала за такие косяки, как супруга цитирует - "ну я же ему объяснила как надо!"

на что я отвечаю - что пора бы привыкнуть к ИХ логике: "дед моего деда шил, а до этого его прадед! мы 5 тысяч лет шьем! и какая-то белая сикавка будет МНЕ указывать! МНЕ!!!!" конечно головой покивает, а сделает по-своему, теми руками что не от плеч растут

то, что за 5 тысяч лет не научились ровно отрезать, шов ровно гнать и ткань чтобы лежала, а не собиралась горбами - ну...

[punk_floyd]

почитал о Common Core - о, ужас

[proben]

После того, как сири и вики убедили меня, что помидор - это фрукт, я забил на их определения.

[a2is]

А таможня добро не дала!
"В 1893 году Верховный суд США единогласно признал, что при взимании таможенных сборов помидоры, по способу их использования, следует считать овощами, поскольку они подавались на обед, а не на десерт"

[proben]

Вот, я так и думал, что на моей стороне высшая правда!

[twilightshade]

Для Ричарда Фейнмана догматизм это вроде как был самый страшный грех во взаимоотношениях преподавателя и ученика, особенно на уровне высшего образования, это его дико бесило, особенно азиаты это любят, а он в Японии преподавал. В его книгах это описано. Надо хоть непонятливых к его книгам отсылать, там написано всё понятно даже для гуманитариев.

[http://users.livejournal.com/sorcerer-/]

Математик = догматик. Туда других не берут.

[twilightshade]

Понятно. Поэтому они по видимому с физиками и не дружат. И нобелевки по математике нет.

[juan_gandhi]

Хм, вы в плохой школе учились?

[http://users.livejournal.com/sorcerer-/]

Нет, слишком много математиков в жизни встречал!!!

[suhajh]

если надо что-то уравнивать - уравнение, сравнивать - сравнение... (ИМХО от нерус):-)

[vit_r]

Kitchen level mathematics

Люди просто не понимают, что математика -- это наука об определениях.

[http://users.livejournal.com/sorcerer-/]

Математика очевидно не наука.

[ichthuss]

Математика - не естественная наука. То, что знания получаются априорно, а не эмпирически, не делает область знаний не-наукой.

[http://users.livejournal.com/sorcerer-/]

Область знаний является наукой, только если все выводы возможно опровергнуть.
В математике ничего опровергнуть нельзя никакими новыми данными.
Т.е. ее можно считать либо религией, либо просто языком. Но науки там нет.

[juan_gandhi]

В математике это иначе делается. Независимость аксиом. Полнота теории.

Но в принципе, с опровержение дело такое - берем отрицание какой-нибудь теоремы и выводим, какая аксиома не должна соблюдаться для этого. Математика чуть не сплошь такая.

[http://users.livejournal.com/sorcerer-/]

Это бессмысленное переливание из пустого в порожнее.
Я не понимаю зачем математику впихивать в науку, если она не наука и никаких экспериментов невозможно поставить, и ни с чем из реальности сравнить тоже нельзя.
Формальности меня мало интересуют.

[sassa_nf]

Falsifiability is the cornerstone of all the proofs. I.e. if you can construct a counter-example for Pythagoras theorem, no one is going to insist on its correctness anymore.

[juan_gandhi]

Take three points: North Pole, (0, 0), (0, 90). Oops.

[sassa_nf]

:) yes, so we reject Euclidean axioms!

[ichthuss]

Вы приводите определение естественных наук. Повторюсь, математика, разумеется, не является естественной наукой. Но наукой является вполне.

[juan_gandhi]

Она, конечно, неестественная, но ничего априорного там нет.

[ichthuss]

Априорная - как противоположность апостериорным знаниям, то есть основанным на опыте. Математика строится чисто дедуктивно, без привлечения эмпирики, и основания математической науки относятся к априорным знаниям.

[vit_r]

Если чьи то очи так видят, то это проблема очей. Монада не менее научный объект для изучения чем те же суперструны или тёмная энергия. Тоже, подставили чудо в уравнения и смотрят, что получится.

[http://users.livejournal.com/sorcerer-/]

А ну да, ессно струны тоже не наука, очевидно.
Это все развлечения математиков.

[juan_gandhi]

Какое там чудо в уравнениях для монады? Option, List, Future, continuation, Either, Reader - нешто это все чудеса?

[vit_r]

Смотря для кого.

[juan_gandhi]

Частично оно так, но можно подумать, GPS на одних определениях работает.

[gxachaturov]

Это разница языковой (не математической!) культуры. В в руссском математическом есть равенство и неравенство. В английском не математическом инекволити есть, а екволити занято другим смыслом (егалитé, франернитé и либертé). Ну и пошло поехало.

[juan_gandhi]

Да не исключено, конечно. Но я как-то не уверен. И в принципе, конечно, полином нулевой степени - тоже полином.

[elglin]

Я бы занудно уточнил, что в русском математическом есть равенство и уравнение, которые переводятся одним и тем же equation.

[juan_gandhi]

Плохо переводятся.

https://ncatlab.org/nlab/show/equality

[elglin]

Я сейчас начинаю забредать в семантические дебри и, возможно, подгоняю решение под ответ.
1. У нас есть равенство в смысле "концепт равенства". То, что по ссылке.
2. У нас есть "арифметическое равенство", в смысле 2+2=4 в контексте школьной арифметики.
3. У нас есть уравнение, в смысле f(x1..xn) = g(x1..xn), где n >= 1, и из f и g хотя бы одна нетривиальна.
Вот имею мнение, что equality - это 1, equation - это 2 и 3, "равенство" - это 1 и 2, "уравнение" - это 3.
Где-то видел пассаж про то, что половина логических парадоксов - это артефакт языка, при точной символьной записи парадокс исчезает.
Я жутко не люблю "бурбаковский" формализм; лично мне он сжигает мозг и изрядно усложняет понимание, но зато он очень хорошо помогает избегать подобный коллизий. Я еще курсе на третьем начал думать, и с тех пор только укрепился во мнении, что в математике многим явлениям надо давать два определения. Первое - нестрогое, но дающее понять, зачем этот концепт, почему и вообще откуда ноги растут. А после того, как аудитория осознала, что это за фрукт, уже давать формальное четкое определение. Ну даже у банального конечного автомата ты смотришь на формальное определение и пытаешься понять, что это за умопомрачительный конструкт - и только минуте на пятой до тебя доходит, что это за создание.
Возможно, именно поэтому я с первого захода не осилил ни теорию категорий, ни лямбда-исчисление: у нас есть некий заумный, почти эзотерический, конструкт - и ни черта не понятно, зачем вообще нагородили этот огород.

[juan_gandhi]

Лямбду да, хорошо на примерах. Типа вот вам логика, вот вам числа, вот вам предикаты, вот вам рекурсия. А с категориями я не понимал никогда проблемы. Чисто алгебраическая структура. Ну в смысле, теория-то геометрическая.

[elglin]

Надо будет зайти на категории второй раз - я читал ваши материалы, они не в пример лучше того, как тема изложена у Кострикина (ну, на мой личный вкус).
Возможно, тема этих категорий-функторов мне не зашла, потому что я не смог понять прикладной смысл. Во всем урматфизе, топологии с дифференциалкой, дискретке и немалой доле начальной алгебры (линейка, группы, поля), ТФКП и функана в целом понятно, откуда и куда это растет. А я тогда воспринял это как непонятный абстрактный конструкт с непонятными приложениями. На экзамене честно сыграл в рулетку и выиграл - по категориям было один или два билета, и их я не вытянул.

[juan_gandhi]

У Кострикина! Там как-то очень загадочно. Как и у Букура-Деляну. Все в жизни гораздо проще.

Но что на экзамене про категории спрашивают - такой прогресс меня радует. В наши времена это была почти запретная тема. Яковлев с Башмаковым из Сорбонны завезли.

[chaotic_shade]

А я думала, что уравнение - это обязательно с переменными. Я плохо помню школу, но мне кажется нас так учили.

[juan_gandhi]

В общем да. А без - это "равенство".

[ngry]

В нашей необычной школе вместо словесной формулировки "уравнение не имеет действительных корней" пропагандировалось написание аля LaTeX $$x\in\emptyset$$, что как бы коротко, и наверно казалось нашему учителю - ясно, но совершенно не имеет смысла.

Это к фразе о педагогах, которые всё лучше знают.

[juan_gandhi]

Педагог не различает предикат и множество, на котором он верен.

[mymra_etc]

это вы не видели пособий по "Окружающему миру" , например. В 3-ем классе по картинке надо было назвать архитектора. Там здание Хундертвассера было.
уравнение , равенство , тождество -- следующий этап взросления родителей)

[epimorphisms_split]

А вот, например, A+2=B это уравнение или нет? И что в нем переменная? A, B или и то и другое?

В вики, кстати, написано, что The word equation and its cognates in other languages may have subtly different meanings; for example, in French an équation is defined as containing one or more variables, while in English, any equality is an equation. И табличка по ссылке. На латыни что уравнение, что равенство, что тождество — все aequatio.

Что в общем-то наводит на крамольную мысль о том, что это слово само по себе довольно бессмысленное, и его всяк трактует, как левая пятка захочет. Особенно если кто получил образование на другом языке, так вообще можно спорить до бесконечности. Имеет смысл говорить "уравнение относительно x (явно указанной переменной)", здесь простора для вольнодумствования поменьше. Сразу видно, что это задача, которую можно попытаться решить, а не что-то другое.

[juan_gandhi]

Согласен вот с этим: "Имеет смысл говорить "уравнение относительно x (явно указанной переменной)""

А остальное все, ну, похоже, ответы у разных людей разные.

И надо, наверно, отличать математику и бытовую терминологию.

Пришел лесник и выгнал всех из избушки

[spamsink]

https://mathworld.wolfram.com/Equation.html

An equation is a mathematical expression stating that two or more quantities are the same as one another, also called an equality, formula, or identity.

Re: Пришел лесник и выгнал всех из избушки

[juan_gandhi]

О, отлично. Спасибо. Кошмар - но отлично.

[jamhed]

Я бы сказал что смысл выражения 12=5+7 зависит от контекста, и школьникам стоило бы донести в первую очередь мысль что контексты бывают разные. Я предполагаю что в школе уравнением обозначают выражение, где левая и правая часть могут быть приведены (путём последовательного применения конечного набора операций) либо к посимвольному тождеству, либо к определению вида x=..., и эта разница в этом контексте не столь существенна чтобы заморачиваться строгостью.

[127_0_0_1]

Дискуссия напомнила собеседование где спрашивают что такое каждая буква SOLID

[juan_gandhi]

Ну в целом-то выяснили же истину; нормально.

[ald1976]

А 12+x=12+x - это уравнение?

И чем оно лучше, явным вхождением икс?

Дело вкуса, но никто не может запретить называть 12=12 уравнением. Хотя бы потому, что его можно "решить" относительно любой [какой захочется, в том числе векторной и.т.д. природы] переменной x, x - любое.

Наивно полагать,что "определение" уравнения в школьном учебнике хоть что-то определяет. Но, в отсутствие рабочего определения, говорить о том, что такое уравнение вообще невозможно. А если определение дать - так их много,для разных целей разные, неэквивалентные.

[juan_gandhi]

Ну да, ну да. Все непросто.

[ald1976]

Все просто, если не усложнять на ровном месте.

А если усложнять и сказать,что 12=12 не уравнение, то возникает проблема:

дебильное, но несомненное уравнение 12+x=12+x эквивалентно приводится к виду 12=12, почему-то по пути переставая быть уравнением.

Кстати, 12+x=x - тоже уравнение, приводящееся к 12=0, так что, увы, любое равенство, даже заведомо неверное, проще назвать уравнением, чем заниматься ненужной селекцией.

Не говоря уже о том, что тайное знание о том, от каких переменных уравнение, в уравнении не содержится. Никто же не будет писать x+0*y=1, чтобы указать, что это уравнение от (x,y). А просто явно об этом скажет дополнительно.

UPD. Таких "богатых" тем много, например (1-1)x=1; 0*x=1; 0=1 - это одно уравнение или три разных, или два уравнения и одно не-уравнение или еще какие варианты.

Только обычно на эти животрепещущие темы с пеной у рта спорят именно училки.

Кстати, будете смеяться, но ребенка приятелей в свое время именно учительница шпыняла тем, что "если без переменных, то не уравнение".

И, на всякий случай - я не учитель. И мехмат за плечами имеется.

[juan_gandhi]

Да-да, вот эта вот простая мысль меня и смущала всю дорогу (несмотря на).