cool. вот я прямо сейчас думаю над таким, казалось бы очень простым вопросом. возьмем простое число q и рассмотрим мультипликативную группу по модулю этого числа *Fq. там все очевидно, в этой группе q-1 элементов и так далее. но теперь я хочу взять другое простое число, m, меньше, чем q. и сказать, что все степени m для меня одинаковы, ну пофиг. т.е. с точностью до умножения на элемент из *Fq в степени m. т.е. это нечто вроде *Fq/(*Fq)^m.
что это за группа? сколько в ней элементов например и какая у нее структура? и если мне попадается произвольный элемент из *Fq/(*Fq)^m как его классифицировать. ну реально это просто будут элементы *Fq разбитые на косеты. и как отнести тот или иной элемент в правильный косет?
*Fq/(*Fq)^m это мы берем *Fq и просто руками отождествляем все элементы, которые отличаются только умножением на другой элемент из *Fq в степени m
ну вот если для смеха я теперь возведу любой элемент из *Fq/(*Fq)^m в степень m, то я получаю "1" в некоем абстрактном смысле. если я договорился считать любые степени m как бы единицами, умножение на них ничего не меняет. то если я теперь возведу то, что осталось тоже в степень m, то это будет "1". это некий такой (довольно кривой я согласен) способ или попытка втиснуть группу корней m-ной степени из 1 в более менее произвольную группу *Fq. т.е. формально оно как бы влезает, но со страшным скрипом. т.к. в оригинальной группе *Fq если m простое, то у всех элементов существует корень m-ной степени, ну их можно возвести в 1/m без проблем. т.е. как бы они вообще все не отождествились, вот что меня пугает
да, пример хорошо бы. попробую, но не знаю, получится ли. идея была в том, чтобы разбить *Fq на "кучки", ну на косеты, чтобы представители в каждом косете отличались не более, чем на умножение на какого-то элемента из *Fq в степени m. но, похоже не любого иначе это будет совсем тривиально. и тогда множество этих косетов/"кучек" будет изоморфно группе корней m-ной степени из 1. последующее возведение этого всего в степень m это как бы "доказывало", но теперь я не уверен.
пример вроде получается, но странный (как и сама идея, конечно)
q=13 m=7
при возведении в степень 7 по модулю 13, некоторые элементы переходят сами в себя, "остаются на месте". это 1, 3, 4, 9, 10 и 12. т.е. когда мы отображаем *Fq --> *Fq/(*Fq)^m они все переходят в единицу. это Ker отображения
в итоге, в образе *Fq/(*Fq)^m у нас остается 1 и еще 6 элементов (образы 2,5,6,7,8 и 11)
т.е. как и очень хотелось, в *Fq/(*Fq)^m у нас m=7 элементов вместе с единицей. которые хотелось бы неким (пока неизвестным) способом отождествить с корнями 7й степени из 1. причина, еще раз, по которой они похожи на корни 7й степени из 1 состоит в том, что формальное возведение в степень m группы *Fq/(*Fq)^m переводит ее всю в "1".
Ага! Красиво! Корни седьмой степени - это, кажется, бинарные деревья (была такая телега лет 15 назад, надо поискать). И спасибо за пример, я потыкаю в него палочкой.
sorry, что я пристал с ерундой, но я сейчас понял, в каком случае это все работает совершенно чисто и четко: если m делит q-1. m|q-1
в этом случае я могу взять это свое непонятное *Fq/(*Fq)^m и просто все возвести в степень (q-1)/m. тогда имеем для любого загадочного множителя вида x^m:
(x^m)^((q-1)/m)=x^(q-1)=1 mod q
по малой теореме Ферма!
вот и все. в случае если q-1 делится на m, все тупо возводим в степень (q-1)/m и то, что остается не может быть ничем иным, как m-ным корнем из одного
пример: q=13, m=3. имеем (q-1)/m=12/3=4 т.е. все возводим в степень 4
легко убедиться, что по модулю 13 при возведении в 4 степень может получиться только 1, 3 или 9. и все! причем при возведении в куб они все превращаются в 1, т.е. это кубические корни из 1. QED
тоже "работает". при возведении в пятую степень на месте остаются 1,5,8 и 12. это Ker
в образе остается 1 и четыре пары (2,6), (3,9), (4,10) и (7, 11). т.е. снова можно сделать вид, что мы смогли получить 5 коней 5й степени из единицы. отличие от примера с m=7 в том, что парные элементы должны переходить не в разные, а в один элемент в образе отображения, это немного таинственно, но в принципе можно себе представить
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2024-10-09 06:44 pm (UTC)cool. вот я прямо сейчас думаю над таким, казалось бы очень простым вопросом. возьмем простое число q и рассмотрим мультипликативную группу по модулю этого числа *Fq. там все очевидно, в этой группе q-1 элементов и так далее. но теперь я хочу взять другое простое число, m, меньше, чем q. и сказать, что все степени m для меня одинаковы, ну пофиг. т.е. с точностью до умножения на элемент из *Fq в степени m. т.е. это нечто вроде *Fq/(*Fq)^m.
что это за группа? сколько в ней элементов например и какая у нее структура? и если мне попадается произвольный элемент из *Fq/(*Fq)^m как его классифицировать. ну реально это просто будут элементы *Fq разбитые на косеты. и как отнести тот или иной элемент в правильный косет?
или где про такое почитать
no subject
Date: 2024-10-09 06:58 pm (UTC)Не, я, похоже, не понял. Мультипликативная группа Zq - это понятно. А что такое *Fq/(*Fq)^m? Если подробнее.
no subject
Date: 2024-10-09 07:09 pm (UTC)*Fq/(*Fq)^m это мы берем *Fq и просто руками отождествляем все элементы, которые отличаются только умножением на другой элемент из *Fq в степени m
ну вот если для смеха я теперь возведу любой элемент из *Fq/(*Fq)^m в степень m, то я получаю "1" в некоем абстрактном смысле. если я договорился считать любые степени m как бы единицами, умножение на них ничего не меняет. то если я теперь возведу то, что осталось тоже в степень m, то это будет "1". это некий такой (довольно кривой я согласен) способ или попытка втиснуть группу корней m-ной степени из 1 в более менее произвольную группу *Fq. т.е. формально оно как бы влезает, но со страшным скрипом. т.к. в оригинальной группе *Fq если m простое, то у всех элементов существует корень m-ной степени, ну их можно возвести в 1/m без проблем. т.е. как бы они вообще все не отождествились, вот что меня пугает
no subject
Date: 2024-10-09 07:14 pm (UTC)no subject
Date: 2024-10-09 07:27 pm (UTC)да, пример хорошо бы. попробую, но не знаю, получится ли. идея была в том, чтобы разбить *Fq на "кучки", ну на косеты, чтобы представители в каждом косете отличались не более, чем на умножение на какого-то элемента из *Fq в степени m. но, похоже не любого иначе это будет совсем тривиально. и тогда множество этих косетов/"кучек" будет изоморфно группе корней m-ной степени из 1. последующее возведение этого всего в степень m это как бы "доказывало", но теперь я не уверен.
вы правы, надо сделать пример. подумаю, спасибо
no subject
Date: 2024-10-09 08:58 pm (UTC)пример вроде получается, но странный (как и сама идея, конечно)
q=13
m=7
при возведении в степень 7 по модулю 13, некоторые элементы переходят сами в себя, "остаются на месте". это 1, 3, 4, 9, 10 и 12. т.е. когда мы отображаем *Fq --> *Fq/(*Fq)^m они все переходят в единицу. это Ker отображения
в итоге, в образе *Fq/(*Fq)^m у нас остается 1 и еще 6 элементов (образы 2,5,6,7,8 и 11)
т.е. как и очень хотелось, в *Fq/(*Fq)^m у нас m=7 элементов вместе с единицей. которые хотелось бы неким (пока неизвестным) способом отождествить с корнями 7й степени из 1. причина, еще раз, по которой они похожи на корни 7й степени из 1 состоит в том, что формальное возведение в степень m группы *Fq/(*Fq)^m переводит ее всю в "1".
no subject
Date: 2024-10-09 09:09 pm (UTC)no subject
Date: 2024-10-10 01:42 am (UTC)в этом случае я могу взять это свое непонятное *Fq/(*Fq)^m и просто все возвести в степень (q-1)/m. тогда имеем для любого загадочного множителя вида x^m:
(x^m)^((q-1)/m)=x^(q-1)=1 mod q
по малой теореме Ферма!
вот и все. в случае если q-1 делится на m, все тупо возводим в степень (q-1)/m и то, что остается не может быть ничем иным, как m-ным корнем из одного
пример:
q=13, m=3. имеем (q-1)/m=12/3=4 т.е. все возводим в степень 4
легко убедиться, что по модулю 13 при возведении в 4 степень может получиться только 1, 3 или 9. и все! причем при возведении в куб они все превращаются в 1, т.е. это кубические корни из 1. QED
no subject
Date: 2024-10-10 06:15 am (UTC)Всё равно красиво.
no subject
Date: 2024-10-09 09:13 pm (UTC)q=13
m=5
тоже "работает". при возведении в пятую степень на месте остаются 1,5,8 и 12. это Ker
в образе остается 1 и четыре пары (2,6), (3,9), (4,10) и (7, 11). т.е. снова можно сделать вид, что мы смогли получить 5 коней 5й степени из единицы. отличие от примера с m=7 в том, что парные элементы должны переходить не в разные, а в один элемент в образе отображения, это немного таинственно, но в принципе можно себе представить